很多小伙伴玩家都不太清楚六一礼物：给孩子解释什么是傅里叶变换，那么今天解雕侠小编给大家带来一篇 相关的文章，希望大家看了之后能有所收获，最后请大家持续关注我们！
今天是儿童节。 我相信大家的父母已经给自己的宝贝买了6月1日的礼物，其实除了物质上的礼物，还可以给孩子精神上的礼物。 例如，很多理工科的学生也不太清楚，但是我觉得让孩子理解相当重要的傅立叶变换是更好的礼物。
为了让孩子理解，不使用数学公式，或者不使用数学公式，需要用现实生活的例子来表现。 这方面的文章我们以前也发过一些。 例如，以下两个。
不看任何数学式就说明傅立叶变换
如何直观形象、生动有趣地介绍傅立叶变换？
今天我再推荐一篇文章。 本文来自公众号：科研犬，作者：李健辉
文章中也会出现一些公式，但这只是为了增加理解，和孩子说话时完全可以忽略。 如果自己也不知道的话，就没关系。 也可以向孩子讲述傅立叶的一生和伟大的贡献。
正文：
傅立叶变换是历史上最伟大最深刻的数学发现之一。 但遗憾的是，第一次看到那个公式，似乎很难理解其内容。 例如，当对满足德里赫尔( Dirichlet )条件的周期信号进行傅立叶变换时，得到傅立叶级数的设置，可以表示为如下。
Emmmmm…
数学上的“变换”，其实是在变换看问题的角度，而不是变换问题本身。 详细地说，拉普拉斯变换的s是什么？
提高警惕
为了更好地理解“变换”的概念，这里对“变换”提供了简单的比喻：
假设有一种叫橘子、香蕉、牛奶、冰沙的饮料。
我想喝，但是现在市场上卖的很贵呢。 不是税金的一杯需要多达10把刀。
但是，贫穷有时是好的。 因为贫困迫使你掌握很多生活技能，比如自己理发。
很明显，我们下一步要做的是自制橘子牛奶冰沙！
但是，和炒菜一样，即使是同样的食材，每个人炒的味道也是千差万别的。 要制作出和市面上口感一样的光滑感，了解原材料的种类和比例是最重要的。 那么，从这一杯橘子香蕉牛奶冰沙中获取原材料和比例的过程也类似于傅立叶变换的过程。 我们暂且称之为“橘子牛奶冰沙的傅立叶变换”。
为了理清思路，首先回答以下问题。
1、“橘子牛奶冰沙傅立叶变换”做什么？
答：得到一碗水果冰沙，找出其中含有的各种成分及其性质。
2、怎么说？
答：让它顺畅地通过某种“过滤器”，提取出各自的成分。
3、为什么要这么做？
A )单个组成成分比光滑本身更容易分析、比较和修改。
4、如何自制橘子香蕉牛奶冰沙？
a )将过滤得到的各组成成分按照分析得到的比例混合即可。
(图片来源： betterexplained )
如上图所示，如果放入9个单位的水果冰沙的话。
经过“香蕉过滤器”，得到一个单位的香蕉；
经过“橘子过滤器”，得到2单位份的橘子；
经过“牛奶过滤器”，得到3单位量的牛奶；
经过“平滑过滤器”，得到3个单位的平滑。
就这样，得到了制作冰沙的“食谱”。 只要将各成分按过滤的比例混合，就可以得到市面上的橘子牛奶冰沙。
从消费者的角度看，含有“香蕉”、“橘子”、“牛奶”、“冰沙”的水果冰沙； 从冰沙的制造者的角度来看，我很关心制作冰沙的配方，也就是成分和比例！
“橙子香蕉牛奶冰沙的傅立叶变换”将我们的观点从消费者转变为生产者； “有水果冰沙。 “怎么做水果冰沙？ ”。 这是两个不同的角度，但是上图中的“过滤器”或“变换”可以实现这两个角度之间的切换。
在“过滤”(转换)过程中，单个成分和比例没有改变。 因此，通过该转换可以反向恢复配方。 这就是“过滤器”(转换)的意思。
傅里叶概述
现在，在知道了“变换”的意思之后，我们来看看像样的傅立叶变换。 首先，介绍一下有名的傅立叶。
Jean-Baptiste Joseph Fourier
21 March 1768 - 16 May 1830
(图片来源：维基百科)
傅立叶的一生是个传奇，幼年时父母相继去世，20多岁毕业后成为数学老师，被邀请担任巴黎综合理工学院教授。 但是，他不是个安逸的人。 20岁血气方刚的人正值当时的法国大革命，他的一些政治行动差点两次被送上断头台，但都得到了拿破仑的器重。
30岁时傅立叶跟随拿破仑东征，被任命为下埃及总督，负责向法军远征部队提供武器。 在此期间，这个教书、背书、背枪给拿破仑的人，向开罗埃及学院提交了几篇关于数学的论文。 内容主要是关于他在三角级数上的贡献。
拿破仑远征军失败后，他回国，1801年被任命为伊泽尔省格伦诺布尔地方长官。 到了1807年，傅立叶在研究中发现一系列谐波关系的正弦曲线可以表示物体内的温度分布。 他还声称，“任何”周期信号都可以用一系列谐波关系的正弦曲线表示。
随后，他向巴黎科学院提交了论文《热的传播》，主审这篇文章的四人中。 拉尔瓦( F. Lacroix )、蒙日( lamuji )、拉普拉斯( lapplus ) )都赞成发表这篇论文，但拉格朗日( J. L. Lagrange )一直拒绝傅立叶提出的这一系列三角级数理论。 因为在他看来，三角级数的适用范围及其局限性。
由于拉格朗日的强烈反对，傅立叶的这篇论文从未发表过。 几次试图让法国大学接受他的论文并出版后，傅立叶着手写他作品的另一个版本。 1822年，傅立叶将这一理论写在了著作《热的解析理论》中。 这距离他第一次提出这个理论已经过去整整15年了。
Thorie analytique de la chaleur
他关于三角级数的论述很有意义，但隐藏在这个问题背后的许多基本概念已经被其他科学家们发现了，同时傅立叶的数学证明也不够。 随后，在1829年，德里赫尔( Dirichlet )提出了一些精确的条件，在这些条件下，周期信号可以用傅里叶级数表示。
因此，傅立叶其实对傅立叶的数学理论贡献不大。 但他确实洞察了级数表示法的潜在威力，并通过其断言极大地激励和推动了傅立叶级数问题的深入研究。 此外，傅立叶在这个问题上的研究成果比他的任何先驱都更进了一步。 这意味着他得到了关于非周期信号的表示——不是与高次谐波关系没有的正弦信号的加权和，而是与高次谐波关系没有的正弦信号的加权积分。
他的发现对19世纪以后的数学、物理、化学及各工程领域产生了巨大的影响。 他的名字刻在埃菲尔铁塔的七十二位法国科学家和工程师之中。
傅立叶级数的直观表示
前述傅立叶认为“任何”周期信号可以表示为一系列“谐波关系”的正弦信号的叠加。 (该"高次谐波关系"将在后面叙述)
正弦函数无需多说，众所周知，为了直观表达，这里同时用两种运动形式表示正弦(或余弦)信号。 分别以时间为横轴，位移为纵轴，是某点的往复运动，也就是通常所说的正弦波或振动信号。
另一种是一点以另一点为中心的等速圆运动。 综合两种情况如下图所示。 正弦波是圆运动投影在一条直线上的东西。
正弦信号的两种图形显示
(图片来源： http://1ucasvb.tumblr.com )
这两种表示方法之间没有本质的区别。 就像画拐角的大小一样，一周可以用角度表示为360，也可以用弧度表示为2弧度。 只是采用了两种不同的表达方式。 请看。 一周为什么是360？
以弧度定义的演示文稿
(图片来源： http://1ucasvb.tumblr.com )
说明无论是上述往复运动还是等速圆运动，只需要3个量就可以唯一决定该运动的状态。
描述等速圆运动需要知道圆运动轨迹的大小，即半径或宽度； 圆运动的速度(角速度或频率)； 及运动开始位置，即初始相位角，两个信号的开始位置之间的角度差也称为相位差。
(图片来源： betterexplained )
公式表示如下。
在此，a为正弦波的振幅，为角速度或角频率，为初始相位角，t为时间，为旋转角。
那么，组合所有圆运动(或振动信号)得到的位置随时间变化的情况就是最终的我们的信号。 这与从原材料中获得最终“橘子牛奶冰沙”的过程类似。
同样，相反，傅立叶级数能够将任意的周期信号分解为由无限多个要素构成的单纯的振动信号的集合。
为了展示效果和参与者，这里尽量少列举了公式，并给出了方波、锯齿波、三角波三种较为常见和简单的信号分解和合成过程。 这三个信号的共同点在于，它们是由无数个无相位差的(假定一次测试的相位角全部为0 )、与谐波关系的正弦波组成的周期性信号。
01
方波
方波也称为矩形波，但这个“正方形”信号确实可以分解成无限多个正弦信号的组合。 下图显示了方波傅立叶级数的前50项的叠加过程。 项数持续增加时，最终会接近方波。
(图片来源：1ucasvb )
构成方波的这些信号都是正弦信号，但这些正弦信号之间需要满足一定的条件。 考虑构成方波的正弦波信号，方波用以下公式表示。 其中，n是奇数。
这里，称为基波频率，3、5、n等是整数倍。 大于这些基波频率且为基波频率整数倍的各次分量称为高次谐波。 方波时，基波的各偶次谐波的振幅为零。 这些高次谐波成分是构成方波的材料。
在此，引入“频域”的概念后，如下图所示。
最前面的黑线是所有正弦波的叠加，是接近矩形波的图形。 后面按颜色排列的正弦波是由矩形波组合而成的各成分。 这些正弦波按照频率从低到高的顺序从前到后排列，各个波的振幅满足以上的合成式。 两个正弦波之间还有一条直线。 那不是分割线，而是振幅为0的偶数谐波。
在不介意相位或假设所有正弦波之间的相位差为零的情况下，从图示的方向看，时域的方波信号会投影到频域。 因为前面方波信号的横轴是时间轴，在频域中横轴是频率。 结果，将随时间变化的时域正弦信号的集合表示为频域中的一组离散点。 频域中每个离散点的横轴表示谐波的频率，纵轴表示与该频率的谐波相对应的振动幅度。
(图片来源：维基百科)
上图显示了近似方波的函数s(x ) (红色)是6个不同振幅的谐波关系的正弦函数之和。 它们的和叫做傅立叶级数。 在图中描绘了傅里叶变换s(f ) )的振幅和针对各频率的蓝色，并展示了6种频率和相应的振幅。 傅立叶变换将信号从时域变换到频域。
从另一个角度来看合成的过程吧。 如上所述，正弦波是指圆运动在一条直线上的投影。 频域中的每个离散点也可被理解为总是围绕圆旋转的点。 这些点的旋转速度对应于每个谐波的频率，旋转半径对应于每个谐波的幅度。 把这些谐波叠加起来，就能得到最终的信号。
(图片来源：维基百科)
(图片来源： https://bl.ocks.org/Jin Roh/7524988 )
02
锯齿波
考虑构成锯齿波的正弦信号，锯齿波由下式表示，n是正整数。
下图显示了锯齿波傅立叶级数的前50项的叠加过程。 项数持续增加时，最终会接近锯齿波。
(图片来源：1ucasvb )
从圆运动的角度看，叠加过程如下图所示。
(图片来源：维基百科)
(图片来源： https://bl.ocks.org/Jin Roh/7524988 )
03
三角波
关于三角波，和上面的两个很相似。 下图显示了三角波傅立叶级数的前25项的叠加过程。 项数持续增加时，最终会接近三角波。
(图片来源：1ucasvb )
从圆运动的角度看，叠加过程如下图所示。
(图片来源： https://bl.ocks.org/Jin Roh/7524988 )
总结
根据以上的例子可知，满足德赫金( Dirichlet )的条件的周期信号能够分解为构成高次谐波关系的正弦信号，或者，对该周期信号进行傅立叶变换时能够得到傅立叶级数的设置。
关于周期信号，既然知道其中的各成分有高次谐波关系，频率成分就确定了。 因此，在不考虑相位差的情况下，问题是如何得到具有这些高次谐波关系的正弦波信号前的系数(或者高次谐波的振幅，即各成分的大小)。 傅立叶变换的公式恰恰给了我们解决这个问题的途径。 也就是说，正文的开头有那个公式。 可以根据分析对象的周期信号x(t )，对其中包含的谐波分量的振幅a-k进行积分来得到，从而可以通过将这些频率分量全部相加来重构原始的周期信号。
为了便于理解，有人用下式表达傅立叶级数的求解。
(图片来源： betterexplained )
请注意，这里用复指数信号表示正弦信号。 这也是可以相互转换的两种表达方式。 请参照下图。 或者，“神的公式”真的是神得无法触摸吗？
(图片来源： betterexplained )
最后写
这个推送的最初目的只是想自己总结傅立叶变换的思想。 但后来找到了很多好的照片和动态展示，自己也想用最亲切感的方式表达这个乍一看很深奥的数学理论，减少了很多证明和公式，增加了直观的认识。 如果有问题的话，请指出来。 但是，请不要。 水平有限。 考虑不周。 请原谅我。
结束
[1] aninteractiveguidetothefouriertransform，https://better explained.com/articles/an-interactive-guide-to-the。
[2] Joseph Fourier，https://en.Wikipedia.org/wiki/Joseph _ Fourier
[3] Alan V. Oppenheim，alans.willsky.signalsandsystems.prentice-hall，2nd ed，1997。
[4] fourierseriesvisualisationwithd 3，https://bl.ocks.org/Jin Roh/7524988
[5] The additive synthesis，through Fourier series，of square，sawtooth and triangle waves，33581 ucas VB.Tumblr.com/page/page
[6] Fourier series，https://en.Wikipedia.org/wiki/Fourier _ series
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