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本文摘自《数学与人类文明》，蔡天新著，商务印书馆。
当发现一对小鸡和两天之间的共同东西(数字2 )时，数学诞生了。
——伯特兰罗素
1、开始计时
正如古代世界的许多伟人一样，数学史的先驱也消失在历史的迷雾中。 但是，数学每前进一步，都伴随着人类文明的进步。 亿万年前，住在岩洞里的人有数的概念。 在数量少的东西之间增加或取出了几个同样的东西，从而分辨出了多少。 很多动物也有这样的意识。 本来，对食物的需求来自人类的生存本能。 渐渐地，人类有了明确数量的概念。 一、二、三、……正如部落首领需要知道多少成员一样，牧羊人也需要知道他有多少只羊。
在有文字记载之前，数和简单的算术都有了发展。 打猎的人知道两箭和三箭加起来有五箭。 正如不同种族呼唤家庭主要成员的声音相似，人类最初的数数方式也相似。 例如，数羊的数量时，每有一只羊，手指就会一根一根地移动。 后来，数石头的方法，有的用小棍子，产生了数石头的方法、系绳子的方法、数切缝的方法、土、木、石、兽骨等三种代表性的方法，不仅能记录大的数字，而且便于累计和保存。
古希腊荷马史诗《奥德赛》中有一个故事，讲的是主人公奥德修斯刺伤独眼巨人波吕菲莫斯唯一的眼睛后，那个不幸的盲人每天都坐在自己的洞穴里照顾羊群。 早上，羊出去吃草，每出来一只，就从石头堆里捡起一只。 晚上，羊回到洞穴，每进去一只就扔石头。 当他把早上捡到的石头都扔出去时，他确信所有的羊都回到了洞穴。 这个故事表明，牧羊人很可能通过计算羊群的数量创造了数学。 正如诗始于祈求丰收的祈祷，两个人类最古老的发明都是出于生存的需要。
说来有点残酷，一些美洲印第安人通过收集被杀者的头皮来计算杀死敌人的数量，一些非洲原始猎人通过堆积野猪的牙齿来计算杀死野猪的数量。 住在乞力马扎罗山坡上的游牧少女有在脖子上戴铜圈的习惯，据说其数量等于自己的年龄。 据说这比现在缅甸一些少数民族女性保留的相似习惯有更多的审美意义。 从前，英国的酒保用粉笔在石板上做记号来计算客人喝的杯数，而西班牙的酒保则向客人的帽子扔小石子来计算这个数。 这两种不同的计数方法似乎反映了这两个民族不同的个性。 谨慎和浪漫。
后来，各种语言应运而生，包括与不同大小数量相对应的语言符号。 之后，随着表示法的改良，形成了表示这些数的表示符号。 最初，像两只羊和两个人一样，使用的语言和语言也不一样。 例如，在英语中，team of horses (一起拉车、拉犁的两匹马)、yoke of oxen ( yoke of oxen )、span of mules )、brace of dogs ( bair of shoes )、鞋)等。 关于汉语量词的变化，它更多，流传至今。
但是，人类将公式2抽象为共同性质，并用与大多数具体事物无关的某种语音代替，可能是经过了很长时间才实现的。 正如英国哲学家兼数学家伯特兰罗素所说：“当发现一对小鸡和两天之间的共同东西(数字2 )时，数学诞生了。 ’在我看来，数学的诞生可能有点晚。 也就是说，是从“2个鸡蛋加3个鸡蛋等于5个鸡蛋，2个箭加3个箭等于5个箭”中抽象出“2 3=5”的时候。
2、数基与进制
如果需要更广泛的数字交流，就需要将计数方法系统化。 世界各地的人们不约而同地采取了以从1开始的几个连续的数字作为基本数字，用它们的组合来表示比这些数字大的数字的方法。 也就是说，将大于1的数b作为计数的进位或基准，确定数1、2、3、b的名称，则大于b的数都可以用这个b的数的组合来表示。
有证据表明2、3、4都被认为是原始的数基。 例如，澳大利亚昆士兰州的原住民就数“1、2、2和1、2、……” 一些非洲矮人这样称呼前六个自然数：“A，oa，ua，oa-oa，oa-oa，oa-oa”。 两种计数都是二进制，其应用导致了电子计算机的发明。 阿根廷火地岛的一个部落和南美的其他部落分别基于数字3和数字4。
由于人的手和脚各有五根手指和脚趾，所以不难想象五进制曾经被广泛使用。 至今，南美的一些部落仍在用手数数。 “1、2、3、4、手、手和1、等等”。 直到1880年，德国的农历还以5为几座。 1937年，在捷克摩拉维亚地区发现的狼胫骨上，数十处刻痕明显按五进制排列。 西伯利亚的尤卡吉尔人住在世界上最冷的地方(莱娜河下游)，至今仍以类似5-10混合进制的方式计数。
12也常用作数座，这可能与6个数被整除有关，也可能是因为一年有12个溯望月。 例如，一英尺等于12英寸，一英寸等于12英分，一先令等于12便士，一磅等于12盎司。 值得一提的是，直到20世纪70年代，中国的乡村秤上还刻有包括十六进制在内的两种进制。 与此同时，没有十二进制的中国文字也有“打”的概念。 英语中除了打以外，还有dozen ( gross )。 一箩筐十二打，一打十二个。
20进制也被广泛使用。 让人想起人类的赤脚时代。 双脚和双手有20根手指。 美洲印第安人使用过它，包括高度发达的玛雅文明。 在法语中，现在也用4个20表示80(quatre-vingts )，4个20加10表示90 ( quatre-vingt-dix )。 丹麦人、威尔士人和盖尔人的语言中也发现了这种痕迹，令人惊讶的是，这些地方不是温带。 在英语中，20(score )是一个很常用的字，但在中文中也有廿这个字。 关于古巴比伦人使用的60进制，即使在今天，时间和角度的测量单位也是不可缺少的。
但是，人类最终普遍接受了十进制。 有记载的历史采用了十进制，包括古埃及象形数字、中国甲骨文数字和算盘数字、希腊阿提卡数字、印度婆罗洲数字等。 在我们的脑海里，10已经成为数量的必然单位，就像2已经被计算机特别拥有一样。 原因非常简单，博学的希腊哲学家亚里士多德已经向我们指出：“十进制之所以被广泛采用，只不过是我们大部分人一生中有十个手指这一解剖学事实的结果。”
不仅是嘴，用手指表达数量也长期被采用。 英语digit原本是指手指或脚趾，后来变成了表示1到9的数字。 现在，我们正处于数字时代( digital age )。 实际上，原始人和开化人在口头计数的时候往往同时做手势。 例如，说到“十”字，往往用一只手拍另一只手的手掌。 一些部落和民族可以通过观察他们数数时的手语来判断归属。 即使在今天的中国，我们也可以通过单人打拳的手势大致了解他或她来自哪个地区或省。
3、阿拉伯数字系
考古学表明，记数法出现于约三万年前，发展极为缓慢，直到约公元前三千多年，才出现书写和相应的数系。 可能是受手指表示数的影响，最初表示数1、2、3、4的符号大多是对应数量的纵向或横向堆积。 前者有古埃及象形文字、希腊阿提卡数字、中国竖式筹码数字和玛雅数字，后者有中国甲骨文数字、横式筹码数字和印度婆罗洲数字(公式4例外)。
值得一提的是，受上述指示的影响，前四个数系采用的都是左右十进制，而其他两个着名数系，即巴比伦楔形数字和玛雅数字，分别用尖等腰三角形和小圆点表示，而六十进制和二十从公式5开始，同一个竖排数系也有不同的表达方式。 以10为例，古埃及人在四个竖上面加一横：轭和锹骨(集合论中的“并”)，古希腊人加(第四个希腊字母)。
阿拉伯数字系统是指由0、1、2、3、…、9这10个符号及其组合表示的十进制数字系统。 例如，在911这个数中，右边的1表示一个，而中间的1表示110，9表示9100。 在当今世界上成千上万种语言系统中，这10个阿拉伯数字是唯一通用的符号(比拉丁文字使用得更广泛) 可以想象，如果没有阿拉伯数字系统，世界范围内的科技、文化、政治、经济、军事、体育交流将变得非常困难，不可能。
阿拉伯数系又叫印度-阿拉伯数系，因为这是印度人发明的，经过阿拉伯人改造后传入西方。 后者的文明流通是在12世纪完成的，前者的发明起源不详。 只是，随着近代考古学的进展，在印度的石柱和窑洞的墙上发现了这些数字的痕迹，其年代在公元前250年到公元200年左右之间。 顺便说一下，虽然这些痕迹中没有零号，但公元825年前后，阿拉伯人花拉子密的著作《印度的计算术》中已经描绘了完备的印度数字，今天的英语和德语零是根据阿拉伯语音译的。
阿拉伯数字随着阿拉伯人鼎盛时期的远征传到了北非和西班牙。 据说一个叫莱奥拉多的意大利人在西班牙穆斯林数学家的教导下，周游了北非。 他回到意大利后，于1202年出版了数学著作。 这是阿拉伯数字传到非穆斯林欧洲的一个里程碑，对后来意大利文艺复兴的数学有一定的促进作用。 值得一提的是，13世纪，威尼斯人马可波罗实现了欧洲人对东方的首次访问。 当时横贯欧亚大陆的君士坦丁堡是战乱的纷争地，这位旅行家也经由北非和中东绕道地中海，但方向与阿拉伯数字的传播路径相反。
4、形状和几何学
数系的出现使数的表示和数与数之间的运算成为可能，在此基础上加、减、乘、除、初等数学在一些古文明地区得到了发展，此后数系的统一为世界数学的研究和应用插上了翅膀。 就像数字的概念的形成一样，人类最初的几何知识也是他们对形状的直觉萌发出来的，例如，不同种族的人注意到了圆月和挺立的松树在形象上的不同。 几何学被认为是这种从自然界提取的“形状”的总结。
一条直线只是拉紧的绳子，来自希腊语的英语Hypotenuse (斜边，弦)的原意是“拉紧”。 这是拉伸直角双臂后的联线，可以认为arms (手臂)也变成了两条直角边。 这样，三角形的概念似乎是通过人们观察自己的身体而得到的。 巧合的是，在古代中国也是如此。 钩、股同时作为小腿和大腿，也是直角三角形中短或长的直角边。 因此，我们有钩股定理的称谓。 在西安半坡出土的陶器碎片上，可以看到完整的全等三角形图案，每边由8个等距的小孔相连。 同样，圆、正方形、长方形等一系列几何形式的概念也来自人们的观察和实践。
正如古罗马历史学家希罗多德所指出的，埃及的几何学是“尼罗河的礼物”。 公元前14世纪以前，埃及的一位国王把土地分封给所有的国民，每个人都得到同样面积的土地，并据此纳税。 如果一年一度的尼罗河洪水破坏了某人的土地，必须向法老报告损失。 法老会派遣专家来测量失去的土地，并按相应的比例减税。 几何学( geomerty )就这样产生并发展了。 geo意味着土地，metron是测量。 专门研究这种事物测量的人有一个特殊的名称：“司绳”( rope-stretcher )。
巴比伦的几何学也来源于实际测量，其重要特征是其算术性质，至少在公元前1600年熟悉长方形、直角三角形、等腰三角形和一些梯形的面积计算。 古印度几何学的起源与宗教和建筑实践密切相关，公元前8世纪至5世纪形成的所谓绳文经，就是关于祭坛和寺庙建设中的几何问题及其解决。 在古代中国，几何学的起源多与天文观测有关，公元前2世纪写的《周髀算经》中讨论的是用于天文测量的几何学方法。
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